Додати в закладки
Переклад
Translate
 Вхід в УЧАН Анонімний форум з обміну зображеннями і жартами. |
|
|
Скачати одним файлом. Книга: Страхування. С. С. Осадець
ОСНОВИ ФІНАНСОВОЇ ДІЯЛЬНОСТІ СТРАХОВИКА. Розділ 18. ВИЗНАЧЕННЯ СТРАХОВИХ ТАРИФІВ. 18.1. М атематичні основи обчислення тарифних ставок
Поняття випадкової величини . Страхування виникає там, де існують явища і процеси випадкової природи. Тому більшість величин, що розглядаються у страхуванні, є випадкови ми величинами. З математичного погляду випадкова величина — це змінна, яка може набувати певних значень з певною ймовірністю.Випадкова величина повністю описується своєю функцією розподілу. Функцією розподілу випадкової величини x (або інтегральною функцією) називається функція, яка кожному числу x ставить у відповідність імовірність того, що x набуде значення, меншого за x :
. Функція
визначена при всіх значеннях аргументу x і має такі властивості: 
; якщо
, то 
; 
; ;
.
Серед випадкових величин можна виокремити два основні типи — дискретні та абсолютно неперервні.
Дискретною називається випадкова величина, яка може набувати скінченної або зліченної множини значень. Дискретними є, наприклад, такі величини: кількість позовів (страхових випадків) у поточному році або кількість договорів, що їх буде укладено страховиком.
Якщо функцію розподілу випадкової величини x можна подати у вигляді
, де
— деяка невід’ємна функція, то випадкова величина x називається абсолютно неперервною , а функція — щільністю розподілу випадкової величини x . Абсолютно неперервними можна вважати, наприклад, розмір майбутніх прибутків страховика, а також тривалість очікування між двома послідовними страховими випадками. Числові характеристики випадкових величин . У страховій практиці, як правило, нас цікавлять не самі випадкові величини, а деякі їх числові макрохарактеристики. Найважливішими з них є математичне сподівання та дисперсія.
Математичне сподівання (його називають також середнім, або сподіваним, значенням) — це середньозважене за ймовірністю значення випадкової величини. Для дискретних випадкових величин математичне сподівання обчислюється з формулою:
, де xi — значення, яких набуває випадкова величина; pi — ймовірності їх реалізації. Для абсолютно неперервних випадкових величин математичне сподівання подається так:
, де p x — щільність випадкової величини x . Якщо випадкова величина невід’ємна (0 £ x ), математичне сподівання можна обчислити за формулою:
. Для будь-яких сталих a , b та випадкових величин x , z виконуються такі властивості математичного сподівання:
;
; 
. Дисперсія характеризує відхилення випадкової величини x від її середнього значення й обчислюється як математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання:
. Дисперсія задовольняє такі співвідношення:
; 
; 
; 
, де a , b — довільні сталі; x — випадкова величина. Якщо випадкова величина невід’ємна, дисперсію можна обчислити за формулою:
. Поряд з дисперсією часто використовують похідні поняття — стандартне відхилення та коефіцієнт варіації . Стандартним , або середньоквадратичним , відхиленням називають корінь квадратний із дисперсії:
. Відношення стандартного відхилення випадкової величини x до модуля математичного сподівання називається коефіцієнтом варіації :
. Для випадкової величини x квантилем рівня a (або a -квантилем) називається величина t a , яка при заданому значенні довірчої ймовірності a є коренем рівняння
. Незалежність випадкових величин . Випадкові величини x та z називаються незалежними , якщо за відомим значенням величини x не можна зробити жодних висновків стосовно значення z , і навпаки, значення z ніяк не впливає на обізнаність із величиною x . Формально випадкові величини x та z називаються незалежними , якщо при будь-яких значеннях a та b імовірність події
є добутком імовірностей подій 
та 
: 
. Якщо випадкові величини не задовольняють наведену щойно умову, то вони називаються залежними . Прикладом залежних випадкових величин є кількість позовів та сумарний розмір виплат. Відсутність позовів означає відсутність виплат. Нехай h — кількість позовів (кількість виплат) у поточному році, x — відповідна сума виплат у страховика. Нехай з імовірністю 10 % протягом року виплат у страховика немає. Цей факт можна записати кількома способами:
; 
; 
. Отже,
. Це означає, що випадкові величини h і x залежні. Незалежними випадковими величинами можуть вважатись, наприклад, кількості позовів з різних видів страхування. Наведемо дві важливі властивості. Якщо випадкові величини x та z незалежні, то для них виконуються такі співвідношення:
; 
. Статистичні оцінки . Часто ми не маємо інформації про реальний розподіл випадкової величини x , але маємо деяку сукупність спостережень, у результаті яких вона набуває значень x 1, x 2, x 3, ..., xn . Ця сукупність значень називається вибіркою , а величини
і
відповідно вибірковим (емпіричним) середнім та незсуненою вибірковою (емпіричною) дисперсією . Вибіркове середнє використовують для оцінювання математичного сподівання:
, незсунена вибіркова дисперсія є оцінкою дисперсії випадкової величини:
. Принципи обчислення тарифних ставок . В актуарній практиці використовуються найрізноманітніші методи обчислення тарифних ставок. Усі вони базуються на принципі еквівалентності фінансових зобов’язань страхувальника і страховика. Але парадокс полягає в тому, що не існує єдиного погляду на те, як тлумачити цей загальновизнаний принцип страхування. Розглянемо найпоширеніші підходи до трактування принципу еквівалентності.
Еквівалентність фінансових зобов’язань як еквівалентність сподіваних значень . Зобов’язання страхувальників полягають у сплаті страхових премій. Зобов’язання страховика оплачувати позови страхувальника. Нехай p означає суму зібраних страховиком премій, Х — сумарні виплати страховика. Природно вважати, що справедливою платою за ризик страховика є сподіване (середнє) значення випадкової величини Х :
. У такому вигляді принцип еквівалентності доволі часто використовується у страхуванні життя та деяких інших галузях масового страхування.
Еквівалентність зобов’язань з погляду теорії розорення . Зобов’язання страхувальників мають безумовний характер. Купуючи поліс, страхувальник звільняє себе від ризику несподіваних витрат. Витрати страховика, навпаки, непередбачувані. Страховик бере на себе ризик, який полягає в тому, що його виплати будуть значно більші за M [ Х ]. Тому страховик вправі вимагати додаткової плати за можливі збитки — ризикову надбавку L . Із цього погляду справджується співвідношення:
. Постає запитання: якими мають бути розміри ризикової надбавки L та страхової премії p ? Щоб відповісти на нього, доцільно звернутися до теорії розорення.
Факт розорення страховика описується співвідношенням U + p < X , де U — розмір власних коштів страховика. Відповідно ймовірність розорення дорівнює .
Отже, якщо страховик намагається досягнути ймовірності розорення a , то він має забезпечити розмір страхових премій p таким, щоб виконувалося співвідношення:
. Таке розуміння принципу еквівалентності є найпоширенішим у сьогоденній практиці. Основним недоліком цього підходу є досить висока абстрактність поняття «ймовірність розорення». Яка ймовірність розорення страховика вважається достатньою — 10, 1 чи 0,1 %? На це запитання дуже важко дати аргументовану відповідь. Зменшення ймовірності розорення з 2 до 0,2 % для страховика не має принципового значення, хоча може призвести до необхідності збільшити ризикову надбавку в півтора раза.
Принцип еквівалентності зобов’язань у термінах теорії розорення має математично обґрунтовану форму, але застосування його в актуарній практиці може призводити до значних коливань розрахункових значень.
Еквівалентність зобов’язань з погляду теорії корисності . Нині дедалі популярнішим стає підхід до формалізації принципу еквівалентності фінансових зобов’язань страхувальника і страховика, що ґрунтується на теорії корисності.
Основним поняттям цієї теорії є функція корисності. Функ цією корисності називають функцію u ( x ), яка має такі властивості:
функція u зростаюча — u ( x ) > u ( y ) при x > y ;
функція u задовольняє нерівність Єнсена
; функція u задовольняє умову нульової корисності
. Функція корисності визначає ступінь важливості для страховика певних грошових сум. Вона має суб’єктивний характер, включаючи психологічний компонент.
За допомогою функції корисності принцип еквівалентності можна записати так:
. Отже, сподівана корисність капіталу страховика після прийняття ризиків не повинна зменшитися порівняно з корисністю початкового капіталу. На практиці часто застосовують експоненціальну та квадратичну
функції корисності. Головна проблема при практичному використанні принципу еквівалентності в термінах теорії корисності — відшукання адекватної функції корисності.
Книга: Страхування. С. С. Осадець
ЗМІСТ
На попередню
|
|
