Вхід в УЧАН Анонімний форум з обміну зображеннями і жартами.



Додати книгу на сайт:

Скачати одним файлом. Книга: Моделювання та інформаційні системи в економіці: Міжвід. М.Г. Твердохліб

МОДЕЛЮВАННЯ ТА ОПТИМІЗАЦІЯ ДИСКРЕТНИХ ЕВОЛЮЦІЙНИХ СИСТЕМ У ВИПАДКОВОМУ СЕРЕДОВИЩІ

Диференціальні та різницеві рівняння з випадковими коефіцієнтами є відповідно неперервними та дискретними еволюційними стохастичними системами у випадковому середовищі та слугують математичними моделями випадкових еволюцій, що інтенсивно вивчаються останнім часом. Зокрема, в економічній сфері досягнення високої ефективності фінансово-господарчої діяльності, забезпечення конкурентоспроможності та фінансової стійкості підприємств неможливе без застосування стохастичних, динамічних математичних моделей. Процес моделювання взагалі досить складний, однак він спрощується в разі використання чисельних методів для ЕОМ.
Для описання характеристик ефективності операцій, результати яких залежать від ряду випадкових факторів, використовують різні ймовірнісні моделі (наприклад, марковські й напівмарковські послідовності), які враховують супровідні ймовірнісні процеси. Далі як моделі розглядатимуться випадковий марковський та напівмарковський ланцюги.
Випадковий процес x ( t ) називається марковським, якщо для кожного моменту часу ймовірність будь-якого стану системи в майбутньому залежить лише від стану системи в теперішній момент і не залежить від того, яким чином система прийшла до цього стану.
Висловлюючись математичною мовою, випадковий процес x ( t ) називаємо марковським, якщо для будь-яких моментів часу  із відрізка [0, T ] умовна функція розподілу «останнього» значення  за фіксованих значень , ,…,  залежить лише від , тобто за заданих значень виконується співвідношення
.
Марковські випадкові процеси широко застосовуються в дослідженнях роботи систем масового обслуговування, прикладами яких можуть бути телефонні станції, ремонтні майстерні, магазини, перукарні, білетні каси.
Напівмарковські випадкові процеси більш загальні порівняно з марковськими; за їхньою допомогою можна точніше описувати різні явища. Напівмарковські процеси використовуються в теорії надійності та в системі масового обслуговування, під час аналізу ефективності, планування й прогнозування господарчої діяльності підприємств та в інших областях.
Випадкову послідовність , , із обмеженим чис­лом станів  назвемо напівмарковським ланцюгом, якщо виконуються такі умови. Нехай ,  — моменти зміни стану послідовності . Тоді випадкова послідовність , , … утворює однорідний марковський ланцюг із перехідними ймовірностями
, ,
а ймовірності перебування у станах задовольняють умови

, ,
де  — задані числа.
Отже, для напівмарковського процесу характерно те, що після стрибка в момент  забувається вся «передісторія», і зміна  залежить лише від значення  та різниці .
Розглядається система нелінійних різницевих рівнянь, праві частини яких залежать від напівмарковської послідовності, тобто система вигляду
, , (1)
де  — щойно описаний напівмарковський ланцюг із заданими матрицями інтенсивностей ,  та початковим розподілом , а Х_n — випадковий m- вимірний вектор.
Відомо, що інтенсивності  задовольняють такі вимоги: , , якщо .
Виведено рівняння для умовних та умовних часткових розподілів розв’язків системи (1), за допомогою яких здобуто співвідношення для моментів другого порядку випадкового розв’язку системи, а саме:
(2)
де  — умовні моменти другого порядку розв’язку си­стеми (1);  — розв’язок системи ,    із початковою умовою ;  — імовірність першого переходу зі стану Q_s до стану Q_j за умови, що процес упродовж часу k перебував у стані Q_s . Функція  визначає ймовірність того, що процес , перейшовши до стану Q_s перебував у цьому стані впродовж часу n без стрибка.
Формула (2) дає змогу досліджувати стійкість нульового розв’язку системи рівнянь (1) за допомогою чисельних методів із використанням рекурсій.
У різних галузях господарства доводиться мати справу з об’єктами, робота яких має бути стабільною впродовж тривалого часу. Тому вивчення питання стійкості є дуже важливим напрямом у науці.
Нехай у системі рівнянь (1) , i = 1, …, q , тобто X_n = 0 для кожного  — положення рівноваги цієї системи.
Положення рівноваги системи X_n = 0 (1) назвемо стійким відносно моментів другого порядку, якщо для кожного  існує таке , що для всіх розв’язків  із початковою умовою  виконується
(3)
де  — математичне сподівання, знак * означає транспонування.
Теорема 1. Розв’язок X_n = 0 системи рівнянь (1) буде стійким відносно моментів другого порядку, коли для кожного  існує таке , що з  випливає: розв’язки системи (2) задовольняють нерівність
(4)
для кожного  , .
Використовуючи чисельні методи для ЕОМ, за допомогою теореми (1) можна досліджувати стійкість розв’язку X_n = 0 системи рівнянь (1) для різних нелінійних функцій , .
Для спрощення обчислень розглянемо замість системи (1) лінійне різницеве рівняння
,   (5)
де  — напівмарковський ланцюг із двома станами Q 1, Q 2.
Нехай , , х ₀ = 1. Задаємо інтенсивності ,   .
Мовою програмування «Паскаль» написано програму для дослідження стійкості розв’язків рівняння (5) за заданих значень a ₁, a ₂, x ₀, точності e та інтенсивностей .
Щоб скористатися формулою (2), потрібно в програмі ввести функції для обчислення ,  та . Для знаходження  використовуємо формулу
,   ,  .
А , з огляду на постановку задачі, обчислюємо так:
,  .
Якщо , то , .
Умовні моменти обчислюємо за допомогою рекурсії, ураховуючи, що
, 
зокрема, при  маємо
,  .
Після обчислення умовних моментів перевіряємо розв’язок рів­няння на стійкість за формулою (4).
Провівши чисельні експерименти, отримаємо такі результати:
1) якщо  та , то маємо стійкість розв’язку рівняння (5);
2) якщо , , то маємо нестійкість розв’язку;
3) якщо одне з часткових значень коефіцієнтів a ₁, a ₂ (але не обидва) трохи більше від одиниці, то за деяких значень перехідних імовірностей та інтенсивностей маємо стійкість.
Після обробки результатів обчислень та поширення їх на випадок системи рівнянь (1) можна зробити важливий висновок. Незважаючи на те, що розв’язок X_n = 0 для кількох детермінованих рівнянь  стійкий, а для інших — нестійкий, але міститься «поблизу» межі стійкості, за деяких функцій , які визначають напівмарковський процес, розв’язок стохастичної системи (1) стає стійким.
Розглянуто також систему нелінійних дискретних рівнянь, праві частини яких залежать від марковської та напівмарковської послідовностей одночасно, тобто систему вигляду
,  , (6)
де  — випадковий марковський ланцюг із обмеженою кількістю станів , із заданим початковим розподілом  та перехідними ймовірностями , ;  —  напівмарковський ланцюг із обмеженою кількістю станів , із заданими інтенсивностями ,  і початковим розподілом .
Вважаємо, що випадковий вектор  не залежить від марковського й напівмарковського ланцюгів, його розподіл задано; послідовності ,  незалежні між собою.
Виведено рівняння для умовних часткових розподілів розв’яз­ків системи (6), за допомогою яких здобуто співвідношення для моментів другого порядку випадкового розв’язку системи (2). Як наслідки отримано рівняння для часткових умовних розподілів і моментів другого порядку розв’язків систем нелінійних дискретних рівнянь із марковськими коефіцієнтами. За допомогою формул для моментів досліджується стійкість випадкових розв’язків системи рівнянь (6).
Розглянуто також питання теорії керування, пов’язані з оптимізацією розв’язків нелінійної стохастичної системи керування вигляду
,  , (7)
де  — скінченнозначний напівмарковський процес, U_n — l -вимірний вектор керування.
Для системи (7) шукаємо оптимальне керування вигляду
,  , (8)
що мінімізує функціонал якості
(9)
Функціонал (9) буде мати мінімум, якщо стохастичні функції Ляпунова вздовж розв’язків системи (7)
, (10)
будуть мати мінімум.
Отримано необхідні умови оптимальності для системи керу вання (7) та її частинного випадку, коли випадковий процес  — марковський.
Побудова моделей оптимізації (наприклад, структури виробництва конкретного підприємства) та застосування її результатів дає змогу найефективніше використати виробничий потенціал підприємства і досягти високих економічних показників в умовах стійкого розвитку.


СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Валеев К. Г., Стрижак О. Л. Метод моментных уравнений. — К., 1986. — 56 с. — (Препр. / АН УССР. Ин-т электродинамики; № 67).
2. Дильмурадов Н., Колодинская Е. В. Устойчивость системы нелинейных разностных уравнений с правыми частями, зависящими от марковских и полумарковских параметров / Киев. гос. экон. ун-т. — К., 1995. — 14 с. — Деп. в ГНТБ Украины 27.03.95, № 643. — Ук. 95.



М. Т. КРАСНЮК , асп.,
Київський національний економічний університет

Книга: Моделювання та інформаційні системи в економіці: Міжвід. М.Г. Твердохліб

ЗМІСТ

1.	Моделювання та інформаційні системи в економіці: Міжвід. М.Г. Твердохліб
2.	ПРОГНОЗУВАННЯ ФІНАНСОВИХ РИНКІВ ЗА ДОПОМОГОЮ СИСТЕМИ ПІДТРИМКИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ НА БАЗІ НЕЙРОМЕРЕЖ
3.	ДЕРЖАВНЕ РЕГУЛЮВАННЯ ТА УПРАВЛІННЯ РИЗИКАМИ
4.	ВИЗНАЧЕННЯ ЗАКОНІВ РОЗПОДІЛУ ПОКАЗНИКІВ РИЗИКУ НА ТРАНСПОРТІ
5.	ТЕХНОЛОГІЯ РОЗРОБКИ ЕКСПЕРТНИХ СИСТЕМ У ТАБЛИЧНОМУ СЕРЕДОВИЩІ
6.	ВИКОРИСТАННЯ СУЧАСНИХ ІНСТРУМЕНТАЛЬНИХ ЗАСОБІВ ОБРОБКИ РЕЗУЛЬТАТІВ АНКЕТУВАННЯ У МАРКЕТИНГОВИХ ДОСЛІДЖЕННЯХ
7.	ФІНАНСОВІ ІНДИКАТОРИ ЕФЕКТИВНОСТІ БІЗНЕС-ПРОЦЕСІВ
8.	ПРОБЛЕМИ ОЦІНКИ СКЛАДНОСТІ ПРОГРАМ ДЛЯ ЕОМ
9.	МОДЕЛЮВАННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ  РЕКЛАМИ ІТ-КОМПАНІЙ
10.	ОСОБЛИВОСТІ МОДЕЛЮВАННЯ ІНВЕСТИЦІЙНИХ ПРОЦЕСІВ У ЕЛЕКТРОЕНЕРГЕТИЧНІЙ ГАЛУЗІ ПРОМИСЛОВОСТІ
11.	МОДЕЛЬ БАГАТОЦIЛЬОВИХ РIШЕНЬ В УМОВАХ РИЗИКУ З УРАХУВАННЯМ ДИНАМIКИ
12.	СУМІСНЕ ВИКОРИСТАННЯ КОНЦЕПЦІЙ СТРУКТУРНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ТА БАГАТОВИМІРНИХ БАЗ ДАНИХ ЯК ІНСТРУМЕНТ СТВОРЕННЯ ЕФЕКТИВНОЇ СППР
13.	ЕМПІРИЧНІ ТА ЕКОНОМЕТРИЧНІ МОДЕЛІ ОЦІНКИ РОЗВИТКУ ІНФОРМАЦІЙНОЇ СФЕРИ
14.	АНАЛІЗ ІНВЕСТИЦІЙНИХ ПРОЕКТІВ ПІДПРИЄМСТВА НА БАЗІ МЕТОДІВ НЕЧІТКОЇ МАТЕМАТИКИ
15.	МОДЕЛЮВАННЯ ТА ОПТИМІЗАЦІЯ ДИСКРЕТНИХ ЕВОЛЮЦІЙНИХ СИСТЕМ У ВИПАДКОВОМУ СЕРЕДОВИЩІ
16.	ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ФУНКЦІОНУВАННЯ НАФТОГАЗОВОЇ КОМПАНІЇ ЯК ЦІЛІСНОЇ СКЛАДНОЇ СПЕЦИФІЧНОЇ СИСТЕМИ
17.	СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
18.	ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ГРОШОВОГО ПОТОКУ НА БАНКІВСЬКИХ РАХУНКАХ
19.	ОЦІНЮВАННЯ ТОЧОК ЛАФФЕРА НА ОСНОВІ ДВОПАРАМЕТРИЧНОГО МЕТОДУ
20.	МЕТОДИЧНЕ, МАТЕМАТИЧНЕ ТА ПРОГРАМНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧ ЛОГІСТИКИ

На попередню



Додати в закладки

  
Переклад Translate