Додати в закладки
Переклад
Translate
 Вхід в УЧАН Анонімний форум з обміну зображеннями і жартами. |
|
|
Скачати одним файлом. Книга: Вступ до сучасної логіки / Жоль
§ 18. Квантори й змінні: істотні уточнення
Як вже зазначалося, одним із важливих способів одержання висловлення з пропозиційної функції є зв'язування вільних змінних за допомогою кванторів. Наприклад, з пропозиційної функції «х — бравий солдат» за допомогою квантора існування маємо висловлення:З х (х — бравий солдат).
Таке висловлення читається так: «Існує хоча б один індивідуум, для якого правильно, що х — бравий солдат».
Саме вживання кванторів робить логіку предикатів багатшою та цікавішою за логіку висловлень. Використовуючи квантор існування, запишемо наведене висловлення більш строго:
Зх Р(х),
де Р(х) — предикат «х є бравий солдат».
Тепер з'ясуємо значення цієї формули як істину, якщо існує елемент певної предметної області, для якого Р(х) істинне, і як лож у протилежному випадку. Тоді якщо Р (х) — визначена формула логіки предикатів, то формула З х Р (х) також є визначеною й від значення х не залежить.
Формула 3 х Р(х) читається так: «Існує такий х, що Р від х». Використання цієї формули дає змогу стверджувати, що 3 х Р (х) — форма істинного висловлення для всіх предикатів Р(х), крім одного — ложного. Річ у тім, що у формулах 3 х Р(х) та V х Р(х) квантори зв'язують змінну х, тобто, незважаючи на те що в записах формул 3 х Р (х) та V х Р (х) вживається літера х, що позначає змінну, обидві ці формули позначають саме висловлення, а не пропозиційні функції. Отже, ці формули від змінної х більше не залежать. Потрапляючи в область дії квантора, змінна втрачає свою «свободу» і стає зв'язаною змінною. Така змінна не є змінною у власному розумінні цього слова, її наявність у формулі потрібна лише для того, щоб вказати, з якого предиката дане висловлення утворено. Значення цієї псевдозмінної строго визначене й вже не залежить від контексту.
З пропозиційної функції «х — кухар-окультист» за Допомогою квантора загальності можна одержати висловлення про всіх індивідуумів, знайомих з особливим станом голодних духів і з трансміграцією душ, а саме:
Vx (х — кухар-окультист).
Таке висловлення читається так: «Всі х володіють властивістю бути кухарем-окультистом». Запишемо цей вираз:
УхР(х).
Ця формула читається як «Усі х мають властивість Р(х)». Стосовно кухарів-окультистів, яких в австро-угор-ській армії шанували, дана формула розшифровується так: «Усі солдати є (в душі) кухарями-окультистами (мають властивість бути кухарем-окультистом)». Людям, які мислять критично, зрозуміло, що це висловлення не відповідає дійсності і, отже, є ложним.
Замінивши квантор загальності на квантор існування, маємо істинне висловлення: «Існує хоча б один індивідуум, для якого правильно, що Р від х». Або: «Існує хоча б один індивідуум (солдат) на ім'я Юрайда, для якого правильно, що Юрайда — кухар-окультист».
За допомогою квантора загальності висловлюється думка про те, що кожний індивід певної предметної області має загальну для всіх індивідів цієї області властивість. Інакше кажучи, загальне висловлення — це висловлення, яке констатує, що кожний індивід предметної області має певну властивість. Таке висловлення істинне тільки тоді, коли за будь-якого набору значень його змінних із пропозиційної функції, яку воно містить, мають істинне висловлення.
Перекладаючи це на теоретико-множинну мову, можна сказати: якщо множина складається зі скінченного числа об'єктів, то висловлення про ці об'єкти за формулою Vx P(x) записується у вигляді кон'юнкції одиничних (простих) висловлень. Так, нехай множина М містить п'ять елементів (об'єктів): av a2, av а4, а5. У цьому випадку
висловлення форми /хР{х) рівносильне складному висловленню форми
Р(а{)& Р (а2) & Р (а.) & Р (аА) & Р (as).
Незважаючи на те що квантор загальності можна застосовувати до нескінченних множин, з практичною мето
його зручніше вживати як узагальнення якогось скінченного числа одиничних висловлень.
Квантор існування також узагальнює, але узагальнює не операцію кон'юнкції, а операцію диз'юнкції. Розглянемо приклад.
Нехай М— скінченна множина {М= {о,, а2, а3, q, можна довести -і q -> -> p.
Слід мати на увазі, що кон'юнкція є переставною, або комутативною (лат. commutatio — зміна), оскільки її члени можна міняти місцями. При цьому приймається така ло-гічна теорема:
Якщо (р і q), то (((/= х).
3. Транзитивність: якщо х еквівалентний у, а у еквіва- І
; лентний z, то х еквівалентний z, тобто ((х= у) & (у= z)) —> |
Відношення еквівалентності можна виразити формулами логіки предикатів. Для цього записують у вигляді аксіом рефлексивність, симетричність і транзитивність. Готові результати будуть такими:
Згідно з цим правилом, якщо певний індивід множини має якусь властивість, то можна зробити висновок, що існує хоча б один індивід, якому ця властивість притаманна.
На відміну від логічних законів, які імперативно вимагають, щоб висновок був завжди істинним, логічні правила менш жорсткі. Вони надають можливість визнавати за істинні нові висловлення залежно від того, який вигляд мають висловлення-посилки, вже визнані за істинні.
Одним з основних правил умовиводу є вже знайоме правило відокремлення («modus ponens»), яке говорить, що умовивід є правильним, якщо з двох істинних посилок маємо істинний висновок. Більш строго це правило читається так: якщо істинна якась імплікація й істинна її умова, то має бути істинним і її висновок. Розглянемо приклад.
Вище наведено схему правильного умовиводу в тому Розумінні, що, підставляючи замість літер р і q конкретні висловлення, матимемо в результаті правильний умовивід, тобто правильність умовиводу з логічних міркувань полягає в тому, що до уваги береться тільки форма наявних у ньому посилок, абстрагуючись від їх змісту.
Повертаючись до питання про загальнозначущість еквіваленції, зазначимо, що еквіваленція в логіці предикатів так само, як і в логіці висловлень, тільки тоді буде загальнозначущою, коли значення істинності її членів за однакових значень їхніх змінних збігаються:
Зауважимо, що в логіці предикатів не існує такого простого способу розв'язування умовиводів, як таблиці істинності в логіці висловлень. Більше того, взагалі немає способу, який можна було б сміливо використовувати для розв'язання будь-яких виразів логіки предикатів. Зазвичай розв'язуваний вираз намагаються звести до виразу логіки висловлень.
Однією з цікавих проблем логіки предикатів є проблема аксіоматизації, що упирається у проблему вирішення. Як відомо, проблема вирішення полягає у пошуку способу, за допомогою якого скінченним числом кроків можна вирішити, яким є логічний вираз — загальнозна-чущим, виконуваним чи суперечним. Одним із видів процедури вирішення у логіці висловлень є таблиці істинності.
Якщо для якоїсь області логічних побудов не існує процедури вирішення, то зазвичай намагаються з'ясувати, чи є дані вирази загальнозначущими. При цьому враховують, що кожний Вираз, виведений із загальнозначущого виразу, сам є загальнозначущим. Таким чином, якщо із загальнозначущих виразів удається вивести за допомогою відповідних перетворень, додержуючись правил виводу, розв'язний вираз, то можна з повним правом вважати, що знайдено індивідуальне доведення для даного виразу. Проте на практиці знайти таке доведення для будь-якого виразу часто буває дуже й дуже важко, оскільки тут багато що залежить від професійного досвіду, інтуїції, а також від дотримання певних загальних положень.
Книга: Вступ до сучасної логіки / Жоль
ЗМІСТ
На попередню
|
|
