Вхід в УЧАН Анонімний форум з обміну зображеннями і жартами.



Додати книгу на сайт:

Скачати одним файлом. Книга: Вступ до сучасної логіки / Жоль

ГЛАВА 2. ВІД ЛОГІКИ ДО МЕТАЛОГІКИ § 4. Аксіоматика в логіці й математиці

До початку XIX ст. вчені вважали, що всі математичні постулати та базисні означення є абсолютно! вірогідними й самоочевидними, інтуїтивно ясними. Сучасні математики й логіки відкидають це положення, пропонуючи розглядати постулати й означення як умовно обрані висловлення, що забезпечує більшу свободу в разі їх вибору. Свого часу в результаті такого розкріпачення наукового мислення на світ з'явилися неевклідові геометри та булева алгебра.

Нагадаємо, що строго формальний опис алгебри типу! булевої має аксіоматичний характер. Йдеться про де-І дуктивну систему, в якій теореми доводяться на основі аксіом та означень.

Завдяки відмові від ставки на інтуїтивну очевидність деяких істин математики й логіки виявилося, що у формальному плані аксіоми мають відповідати вимогам н е- суперечності, повноти й незалежності Ці абстрактні вимоги є противагою образності й передбачають вироблення нового типу мислення та пам'яті. РозЧ глянемо, у чому вони полягають.

1. Систему аксіом називають несу перечною, якщо з цих аксіом не можна зробити два взаємовиключні висновки.

2. Система аксіом називається повною, якщо вона припускає лише одну реалізацію, тобто якщо дві будь-які моделі цієї системи аксіом збігаються, або, як говорять, є ізоморфними. Дві моделі аксіоматичної системи називаються ізоморфними, якщо між: елементами, що утворюють ці моделі, можна встановити взаємно-однозначну відповідність. Інакше кажучи, дві ізоморфні моделі являють собою один і той же математичний об'єкт, тільки описаний різними мовами. 3. Система аксіом називається незалежною, якщо жодну з аксіом цієї системи не можна вивести з інших аксіом, тобто довести як теорему, базуючись на решті аксіом системи.

Головним стимулом поширення аксіоматичного методу в сучасній математиці й математичній логіці слід вважати революційні зміни в математиці, початок яким було покладено працями М. І. Лобачевського (1792— 1856) і Я. Бояї (1802— 1860). Ці вчені виявили, що можна побудувати несуперечну геометрію, виходячи з аксіом, які не здаються очевидними, на відміну від евклідових. На зміну інтуїтивно очевидному прийшли незвичні форми доведень, які не потребували наочності. Однак виникала потреба в новому виді пам'яті для кодування абстрактних означень і формул.

Питання про те, чи є постулат про паралельні Евкліда* незалежною аксіомою, чи його можна вивести з інших аксіом, цікавило математиків протягом двох тисяч років.

Першим відповів на зазначене питання німецький математик К. Ф. Гаусе (1777— 1855), проте його не почули з тієї причини, що він сам цього не захотів. Публічно «єретичну» думку про можливість нетрадиційних геометрій, Що ґрунтуються на іншому наборі аксіом, ніж аксіоми Евкліда, висловили тільки Лобачевський і Бояї.

З розвитком ідей неевклідових геометрій виникла можливість заявити: даремно шукати в аксіомах математики Щось наочне, очевидне, таке, що не викликає сумнівів. Математичні аксіоми істинні лише тією мірою, якою доводяться теореми, що з них випливають.

Позбавляючи більшість наукових понять очевидного чи інтуїтивно очевидного змісту, ми не збіднюємо їх. За нового погляду на предмети теоретичного пізнання навіть високі абстракції перестають здаватися чимось сухим і беззмістовним. Це стосується й такого загадкового поняття, як «нескінченність», що відіграло важливу роль у розвитку сучасної математики й логіки.

* Евклід — давньогрецький математик III ст. до н. є.

Неодноразово траплялися непорозуміння через те, що люди намагалися перенести на нескінченність принципи й методи, узяті зі скінченного світу. І кожного разу Не-! скінченність «ламала» найхитромудріші теорії. Та знайшовся сміливець, який спробував якщо не перехитрити, тої хоча б краєчком ока поглянути на поняття нескінченності.; Цим сміливцем був Г. Кантор, створивший теорію мно-1 жин, яку було визнано наріжним каменем усієї математики, сполучною ланкою між логікою й математикою. Нині багато сучасних учених вбачають у теорії множин схему будь-якої дедуктивної теорії.

Книга: Вступ до сучасної логіки / Жоль

ЗМІСТ

1.	Вступ до сучасної логіки / Жоль
2.	ГЛАВА 1. ЛОГІКА І ПРИЙНЯТТЯ РІШЕННЯ § 1. Технічні системи та їхня роль у підвищенні ефективності рішень, що приймаються
3.	§ 2. Алгебра контактних схем
4.	§ 3. Теорія множин
5.	ГЛАВА 2. ВІД ЛОГІКИ ДО МЕТАЛОГІКИ § 4. Аксіоматика в логіці й математиці
6.	§ 5. Проблеми теорії множин
7.	§ 6. Логічні дослідження Д. Гільберта
8.	§ 7. Поглиблене розуміння аксіоматичного методу
9.	ГЛАВА 3. ЛОГІКА ВИСЛОВЛЕНЬ, АБО ПРОПОЗИЦІЙНА ЛОГІКА § 8. Формалізовані мови науки й формальна логіка.
10.	§ 9. Змінні й постійні в мові науки
11.	§ 10. Закони логіки, таблиці істинності та логічні сполучники
12.	§ 11. Трактування релейно-контактних схем у термінах логіки висловлень
13.	§ 12. Індуктивні й дедуктивні умовиводи
14.	ГЛАВА 4. ЛОГІКА ПРЕДИКАТІВ, АБО ПРОПОЗИЦІЙНИХ ФУНКЦІЙ § 13. Відмітні риси логіки предикатів
15.	§ 14. Дескрипція
16.	§ 15. Суть проблеми існування в логіці
17.	§ 16. Квантор існування
18.	§ 17. Значення виразу «бути поняттям»
19.	§ 18. Квантори й змінні: істотні уточнення
20.	ГЛАВА 5. НОВІ ЛОГІЧНІ ІДЕЇ І СИСТЕМИ § 20. Розвиток ідей математичного конструктивізму
21.	§ 21. Конструктивна логіка
22.	§ 22. Ця дивна нечітка логіка
23.	§ 23. Проблеми модальної логіки
24.	§ 24. З історії терміна «семантика»
25.	§ 25. Логічна семантика: проблеми й поняття
26.	ГЛАВА 6. ЛОГІКА І КІБЕРНЕТИКА § 26. Кібернетика, логіка й теорія кінцевих автоматів
27.	§ 27. «Машина Тьюрінга». Вплив математичної теорії зв'язку на логіко-семантичні дослідження
28.	§ 28. «Штучний інтелект» з погляду логіків

На попередню



Додати в закладки

  
Переклад Translate