В оцінці ризиків в економіці, фінансах, менеджменті різних видів підприємницької діяльності особливе місце посідає проблема визначення законів розподілу показників ризику [1]. На транспорті як показники можна розглядати:
— коефіцієнт абсолютної ліквідності;
— коефіцієнт кредитного ризику;
— збитки (небажані наслідки), виражені в абсолютних (відносних) значеннях грошових коштів.
Проведені нами дослідження [2, 3] дозволяють запропонувати два підходи до вирішення проблеми визначення законів:
на основі статистичних даних; характеристик значень, зокрема про величини небажаних наслідків (рівень допустимий, критичний, катастрофічний).
Під час визначення параметрів законів розподілу неперервних випадкових величин досить важливим питанням є вибір довжини інтервалу h у процеси групування статистичних даних. Із цією метою можна скористатися загальновідомою формулою [4]:
або , (1)
де x max, xmin — відповідно найбільше й найменше значення вибірки;
n — обсяг статистичних даних;
h — прийнята довжина (ширина) інтервалу.
Спробуємо дослідити закони розподілу коефіцієнта кредитного ризику k кр для автопідприємства (АТП), яке виконує вантажні перевезення, за загальновідомою формулою:
, (2)
де П1 — джерела власних та прирівняних до них коштів;
П2 — довгострокові пасиви;
П3 — розрахунки та інші короткострокові пасиви.
Нами одержано такі статистичні дані коефіцієнта кредитного ризику k кр:
0,292; 0,386; 0,348; 0,334; 0,341; 0,374; 0,334; 0,352; 0,478; 0,378; 0,338; 0,359; 0,479; 0,282; 0,270; 0,324; 0,342; 0,220; 0,145; 0,203; 0,309; 0,289; 0,291; 0,329; 0,258; 0,398; 0,302; 0,294; 0,270; 0,349; 0,376; 0,408.
Із формули (1) для n = 32 ширина інтервалу h = 0,06, а результати статистичної обробки для цього інтервалу зведено до табл. 1.
Таблиця 1
СТАТИСТИЧНА ОБРОБКА КОЕФІЦІЄНТА КРЕДИТНОГО РИЗИКУ ДЛЯ АТП
| № п/п | Інтервал | Середина інтервалу | Абсолютна частота | Частість | Щільність | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| емпірічна | Гауса | Вейбула | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| kN | mN | rN | 1 | 0,14—0,20 | 0,17 | 1 | 0,031 | 0,52 | 0,202 | 0,45 | 2 | 0,20—0,26 | 0,23 | 3 | 0,094 | 1,56 | 1,618 | 1,79 | 3 | 0,26—0,32 | 0,29 | 9 | 0,281 | 4,68 | 4,958 | 4,55 | 4 | 0,32—0,38 | 0,35 | 14 | 0,437 | 7,29 | 5,819 | 6,25 | 5 | 0,38—0,44 | 0,41 | 3 | 0,094 | 1,56 | 2,615 | 3,12 | 6 | 0,44—0,5 | 0,47 | 2 | 0,0625 | 1,04 | 0,45 | 0,46 | |||||||
Далі підрахуємо оцінку математичного сподівання та середньоквадратичне відхилення , тобто s = 0,065.
Можна прийняти гіпотизу, що закон розподілу коефіцієнта кредитного ризику характеризується щільністю ймовірності:
. (3)
Підрахуємо міру розходження c 2 для нормального закону:
. (4)
Оскільки кількість інтервалів N = 6, кількість параметрів S = 2, то для .
Значення c 2 = 4,01 знаходиться між табличними значеннями 3,66 та 4,64, які відповідають імовірності значимості p = 0,3 та p = 0,2, та має p = 0,05 значно вище допустимого рівня. Таким чином, можна зробити висновок, що коефіцієнт кредитного ризику АТП узгоджується з гіпотезою про нормальний закон розподілу з параметрами а = 0,33 та s = 0,065.
Рис. 1. Щільність розподілу коефіцієнтів кредитного ризику АТП (за нормальним законом та законом Вейбула)
Визначимо параметри a , b закону Вейбула для щільності розподілу [4]:
. (5)
Використаємо відомі співвідношення:
, (6)
де V — коефіцієнт варіації;
Г — гама-функція.
Для вищенаведеного прикладу
V = 0,065/0,33=0,19. (7)
Зазначимо, що параметр a може бути знайдено через V із табл. 2.
Таблиця 2
Так, для V = 0,19 із табл. 2 параметр a = 6,0, а .
Обчислимо коефіцієнт b :
Із (10) ; ; ln b = – 6,3; b = 0,002.
Таким чином, із (5) . (8)
Підрахуємо функцію у точках kN і занесемо до табл. 1 та побудуємо графік. Аналогічно нормальному закону обчислимо значення критерію c 2 = 3,3 . Таким чином, для r = 3 рівень p знаходиться між 0,3 та 0,4, що значно перевищує допустимий рівень p = 0,05. Тому розподіл імовірності коефіцієнта кредитного ризику k підкоряється закону Вейбула з параметрами a = 6; b = 0,002.
Проведемо аналогічний розрахунок (табл. 3) для коефіцієнта ліквідності:
, (9)
де ГК — грошові кошти;
ПЗ — поточні зобов’язання (витрати плюс кредити).
Таблиця 3
CТАТИСТИЧНА ОБРОБКА КОЕФІЦІЄНТІВ ЛІКВІДНОСТІ ДЛЯ АВТОТРАНСПОРТНОГО ПІДПРИЄМСТВА
| № п/п | Інтервал | Середина інтервалу | Частота | Щільність | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| емпірічна | нормальний закон | Вейбула | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| kN | mN | 1 | 0,2; 0,3 | 0,25 | 3 | 1,25 | 0,94 | 1,1 | 2 | 0,3; 0,4 | 0,35 | 5 | 2,08 | 3,18 | 2,6 | 3 | 0,4; 0,5 | 0,45 | 11 | 4,58 | 3,45 | 2,88 | 4 | 0,5; 0,6 | 0,55 | 4 | 1,67 | 1,11 | 1,43 | 5 | 0,6; 0,7 | 0,65 | 1 | 0,42 | 0,33 | 0,17 | ||||||
Оскільки для даних (табл. 3) математичне очікування а = 0,41, а середньоквадратичне відхилення s = 0,11, нормальний закон розподілу коефіцієнта ліквідності характеризується щільністю ймовірності
. (10)
Підставляючи в (14) значення kN , підрахуємо теоретичні значення щільності, які занесемо до табл. 3, і побудуємо графік (рис. 2).
Рис. 2. Щільність розподілу коефіцієнтів ліквідності АТП (за нормальним законом та Вейбула)
Для r = 2 значення c 2 = 2,76, що знаходиться між 2,41 та 3,22, які відповідають імовірності значимості між p = 0,3 та p = 0,2, має p = 0,05, що значно вище допустимого рівня.
Як і в попередньому розрахунку, визначимо параметри a , b закону Вейбула для щільності розподілу коефіцієнта ліквідності та отримаємо функцію:
. (11)
Аналогічно нормальному закону, значення критерію c 2 значно перевищує допустимий рівень p = 0,05. Таким чином, розподіл імовірності коефіцієнта ліквідності k л підкоряється закону Вейбула (15) з параметрами a = 4,3; b = 0,03.
Розглянемо другий підхід до визначення параметрів законів розподілу ризику на основі характерних точок [1].
Нехай задана функція розподілу збитків від конкретного виду підприємницької діяльності дорівнює:
, або , (12)
де .
Крім того, відомі значення f ( zi ) та F ( zi ) у характерних точках zi .
Очевидно, що для визначення а та s необхідно задати дві характерні точки. Нехай відомі значення допустимого ризику z д критичного ризику z к та їх імовірності:
; , (13)
де Р — імовірність того, що випадкова величина збитків менша від конкретного значення допустимого збитку z д та критичного збитку z к.
Величини ймовірності збитків V д , V к визначаються із (13):
.
. (14)
Оскільки V д, V к задано, то з таблиць нормальної функції розподілу Ф( х ) можна визначити x д , x к. З іншого боку, з (12) маємо:
; ; (15)
або
; . (16)
Таким чином, одержані два рівняння (16) дозволяють визначити параметри а та s . Так, здійснивши операцію віднімання першого рівняння від другого, отримаємо:
. (17)
Підставивши (17) в одне з рівнянь (16), маємо
, (18)
де x д, x к — величини, які визначаються з таблиці нормальної функції Ф( х ) розподілу для заданих (відомих) значень V д , V к.
Нехай збитки для заданого виду діяльності підкоряються нормальному закону з параметрами а та s . Відомо, що ймовірність не перевищує розрахункового прибутку у відносному вираженні z д = 0,3; V д = 0,16.
Аналогічно для розрахункової виручки z к = 0,6; V к = 0,977. Із таблиці нормальної функції розподілу для V д = 0,16 x д = – 0,99, а для V к = 0,977 x к = 2. Отримуємо:
.
Таким чином, щільність розподілу відносних значень збитків (рис. 3) можна записати як
. (19)
Рис. 3. Щільність розподілу відносних значень збитків за нормальним законом та законом Вейбула
Розглянемо випадок, коли неперервні величини відносних збитків розподілено за законом Вейбула зі щільністю та функ- цією ймовірності:
; . (20)
Відомо, що ймовірність не перевищує заданого значення z . W д = W ( z ) = P ( Z > z ) = F ( z ).
Очевидно, що для заданих значень допустимих збитків z д та критичних z к із (20) отримаємо
; , (21)
де V д — імовірність того, що випадкова величина приймає значення не більше допустимих збитків ;
V к — імовірність того, що випадкова величина приймає значення не більше критичних збитків .
Прологарифмувавши (21), отримаємо
; . (22)
Поділивши перше співвідношення на друге з (22), одержимо
. (23)
Прологарифмувавши (23), побачимо, що
. (24)
Отже, коли нам відомо відносні значення допустимих збитків z д і ймовірності та критичні збитки z к і , параметри a та b та розподілу збитків за законом Вейбула визначаються формулами (22), (24).
У прикладних проблемах економічного ризику широко застосовують величину ймовірності перевищення заданого рівня збитків:
. (25)
Тоді для заданих значень параметри закону Вейбула (22), (24) обчислюються за формулами
; ; . (26)
Для z д = 0,3, z к = 0,6; W д = 1 – V д = 0,84; W к = 1 – V к = 0,023 розподіл відносних значень збитків (рис. 3) має щільність імовірності:
. (27)
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Вітлінський В. В. Аналіз, оцінка і моделювання економічного ризику. — К.: Деміур, 1996. — 212 с.
2. Кудрицька Н. В . Ризики на автотранспорті та методи їх оцінки // Вісник ТАУ та УТУ. — К., 2000. — Вип. 4. — С. 260—263.
3. Кудрицька Н. В. Розвиток та впровадження ризику на транспорті // Зб. наук. праць міжнар. конф. “Ризикологія в економіці та підприємни цтві”. — К.: КНЕУ; Академія ДПС України, 2001. — С. 211—212.
4. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. — М.: Высш. шк., 2000. — 480 с.
Г. П. ГАЛУЗИНСЬКИЙ , канд. техн. наук, доц.,
Київський національний економічний університет