Додати в закладки
Переклад
Translate
 Вхід в УЧАН Анонімний форум з обміну зображеннями і жартами. |
|
|
Скачати одним файлом. Книга: А. Ф. Бабицький. МЕТОДОЛОГІЯ АНАЛІЗУ ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ І УПРАВЛІННЯ.
1.4. Кінематика економічного процесу
Економічний простір і система координат
Для математичного опису економіки виробництва як деякого ди-намічного процесу, що розвивається, необхідно визначити простір, в якому відбувається досліджуваний процес [1, 2]. Предметом дослідження в даному разі є сукупний виробничий процес, що становить кругооборот елементів виробництва, тобто цілеспрямоване перетворення в процесі праці одних виробничих елементів на інші: робочої сили, знарядь праці та предмета праці. Перші два елементи є матері-альними носіями тільки уречевленої праці (див. тему 1.2), а третій елемент — робоча сила — живої й уречевленої праці одночасно. Але величина живої праці, затрачуваної робочою силою, залежить від кількості уречевленої в ній минулої праці. Тому виробничий процес характеризується трьома незалежними величинами: кількістю уре-чевленої праці, що міститься в робочій силі, у знаряддях праці й у предметі праці.
25
Отже, економічний простір — тривимірний, вимірюється кількістю уречевленої праці й у загальному випадку визначається системою трьох координат: вісь праці — Т, вісь знарядь праці — Р, вісь предме-та праці — М. Оскільки економічний процес, як і будь-який інший, має певну тривалість, то четвертим незалежним параметром є час t.
Таким чином, при розгляді й описі виробничих процесів в економічному просторі шукані функції в загальному випадку залежатимуть від чотирьох незалежних параметрів
П = П(Т, Р, М, t).
В окремих випадках виробничі процеси, і відповідно шукані функції, можуть описуватися і меншою кількістю незалежних змінних величин, наприклад, стаціонарні (сталі) процеси не залежа-тимуть від часу. У деяких випадках кількість координат також може бути меншою. Усе це визначається для конкретних задач і методів розв’язання.
Економічний процес з його параметрами не має нічого спільного з неекономічними процесами та їх параметрами. Проте, оскільки наше зорове уявлення вимагає відчутного образу, то цілком прийнятно умовно “накласти” економічний простір на геометричний, але з економічною системою координат (рис. 1.3). Такий метод ще нази-вають фазовим простором, або фазовою системою координат.
T V ^ P
0
f M
Рис. 1.3. Система економічних координат:
Т — вісь праці, Р — вісь знарядь праці, М — вісь предмета праці
Осі економічних координат та їх розташування в загальному випадку можуть бути будь-якими, тобто криволінійними. Найпоширенішою є прямокутна, або Декартова, система координат, де всі три осі є ортогональними і радіус-вектор визначається виразом
R = тТ + p P + мM . 26
її ознакою є значення добутку одиничних векторів:
тї=1; p p=1; мм=1; fp=0; pм = 0; тм = 0.
Застосовують також циліндричну систему координат (рис. 1.4), рідше — сферичну система координат (рис. 1.5).
В економіці циліндричну систему координат широко використовують для побудови діаграм відсоткового співвідношення економічних величин. У прямокутній системі координат будують різні графіки, її застосовують і для математичного розв’язання економічних задач.
Для орієнтації, тобто для прив’язки обчислень до певної системи координат з її осями, існують два принципово різних підходи: метод Ейлера і метод Лагранжа.
Метод Ейлера орієнтації в системі координат полягає в тому, що процес спостерігають у фіксованих точках простору, в яких визнача-ють параметри процесу. “Спостерігач” певним чином, наприклад на
T
Рис. 1.4. Циліндрична система координат:
T=Z; P = psin(f>; M = pcos(f>,
де Т — вісь праці, Р — вісь знарядь праці, М — вісь предмета праці у прямокутній системі координат.
27
T
Рис. 1.5. Сферична система координат:
T = rcose; P = rsinHsinϕ; M = rsiniicosϕ,
де Т — вісь праці, Р — вісь знарядь праці, М — вісь предмета праці у прямокутній системі координат.
кульці, переміщується в системі координат, що описується функцією його переміщення. У тій точці простору, де “спостерігач” перебуває в даний момент,
Т(t), Р(t), М(t), він спостерігає параметри процесу, що відбувається:
П = П(Т, Р, М, t).
Відмінність методу Лагранжа орієнтації в системі координат — в тому, що фіксується досліджуваний об’єкт, і “спостерігач” переміщується в просторі разом з ним. Відповідно параметри процесу і координати простору визначаються за місцем перебування досліджу-ваного об’єкта:
Т = f1(t,T0,P0,M0)= ϕ1( t , a , b ,c); Р = f2(t,T0,P0,M0) = ϕ2(t ,a, b ,c); М = f3(t,T0,P0,M0)= ϕ3(t,a,b,c),
28
де Т0, Р0, М0; Т, Р, М — початкові та поточні значення координат дос-ліджуваного об’єкта в одній і тій самій системі економічних коорди-нат; a, b, c — змінні Лагранжа, що визначають положення досліджу-ваного об’єкта в одній і тій самій системі економічних координат.
За методом Лагранжа “спостерігач” переміщуватися довільно в системі координат не може. Наприклад, якщо необхідно зіставити економічні показники декількох об’єктів (підприємств, виробництв кількох країн), їх потрібно помістити в одну систему координат і ме-тодом Лагранжа переходити від одного об’єкта до іншого. Внаслідок відмінності досліджуваних об’єктів вони знаходитимуться в різних точках системи координат, або, за словами економістів, у різних економічних умовах. Розгляд будь-яких даних щодо об’єктів поза систе-мою координат не має сенсу.
Відмінність між методами Лагранжа та Ейлера лише в тому, що в методі Ейлера переміщення “спостерігача” у просторі в загальному випадку не залежить від параметрів досліджуваного процесу, а в ме-тоді Лагранжа “спостерігач” повинен рухатися слідом за фіксованим об’єктом, що задається змінними Лагранжа t, a, b, c.
Крім вище наведеного прикладу, в економіці досліджуваними об’єктами можуть бути різноманітні величини, пов’язані з економіч-ними процесами. Наприклад, у момент t1 внутрішній валовий продукт (ВВП) дорівнює деякій величині B1, і передбачається що в деякий момент t2 він досягне величини В2. Ці два значення ВВП знаходитимуться в різних точках економічної системи координат:
^1 = /('1,T1,P1,M1); в2 = (*2,T2,P2,M2).
Це означає, що двом значення ВВП відповідають різні значення робочої сили A 1 на осі праці Т, знарядь праці А2 на осі Р і предмета праці А3 на осі М.
У змінних Ейлера “спостерігач” перебуває у відомій йому точці системи координат, якій відповідає певне значення досліджуваного об’єкта, тобто шуканої функції. Наприклад, деякій точці з координа-тами Т3, Р3, М3 відповідатиме значення ВВП, що дорівнює величині В3, яка у загальному випадку не дорівнюватиме ні B1, ні В2.
29
Швидкості та прискорення економіко-виробничого процесу
Швидкість як кінематична величина характеризує перебіг проце-су в часі. Наприклад, економічний процес може характеризуватися швидкістю перенесення уречевленої праці на вироблений продукт, перетворення одних виробничих елементів на інші, швидкістю економічних витрат тощо. Значення швидкості та її напрямок визначають-ся зміною траєкторії стану виробничого процесу за часом у системі координат економічного простору.
Кінематичний зв’язок між точкою початкового стану П(Т, Р, М, t0) і точкою стану економічного процесу П(Т, Р, М, t) у кожний момент часу t визначається радіусом-вектором
R(t) = тT + p P + мM , (1.27)
де т,p,м — одиничні вектори осей координат Т, Р, М.
Відповідно швидкість процесу визначатиметься межею зміни раді-уса-вектора за нескінченно малий проміжок часу:
V(t )=lim R( t + δ t )-R ( t ) = dR (1.28)
δt→0 δt dt
З урахуванням рівності (1.27) вектор швидкості (1.28) можна подати у вигляді суми трьох векторів:
V = VT+V +VU. (1.29)
У разі сталості осей координат, тобто коли одиничні вектори осей не змінюються,
т = const, p = const, м = const, (1.30)
три складові швидкості (1.29) визначатимуться так:
- швидкість зміни стану процесу уздовж (за напрямком) осі праці Т
Vт=ї—; dt
- швидкість зміни стану процесу вздовж (за напрямком) осі знарядь праці Р
30
V„ =p—; p dt
- швидкість зміни стану процесу вздовж (за напрямком) осі предме-та праці М
dt
Оператор повної похідної у тривимірній системі координат у да-ному випадку економічного простору записується так:
d ∂ - & & ^ ∂ _ ∂ _ ∂
— = —+ J/⋅∇; ∇ = t — + p — + м-----. (1.31)
dt ∂t ∂ T ∂ P ∂ M
У виразі (1.31) множник перед оператором Гамільтона (“на-бла”) — швидкість зміни координат чи швидкість переміщення “спостерігача” у системі координат. Відповідно другий член оператора повної похідної називається конвекційною частиною, а перший — локальною частиною, або похідною за часом. З урахуванням рівності (1.29) і умови (1.30) оператор (1.31) для прямокутної системи коорди-нат має вигляд
d ∂ ∂ ∂ ∂
— = — + V— + V — + VM-----. (1
dt ∂t ∂ T ∂ P ∂ M
З економічного погляду похідними із застосуванням оператора (1.32) від економічних величин можуть бути швидкість і прискорен-ня перенесення уречевленої праці з виробничих елементів на вироблений продукт; швидкість і прискорення створення виробничих скар-бів, економічних витрат тощо.
Наприклад, швидкість зміни вартості знарядь праці в економічному просторі в загальному випадку запишеться так:
р dt ∂t т ∂ T р ∂ P м ∂ M (13)
Відповідно прискорення дорівнюватиме похідній від швидкості зміни вартості знарядь праці
dVp ∂Vp ∂Vp ∂Vp ∂Vp
ar,=—L = —L + VT—L + VTI—^ + VM—^. (1.34)
p dt ∂t т ∂ T p ∂ P м ∂ M
31
Перший член похідної (1.33) або (1.34) визначає зміну вартості зна-рядь праці за часом у певній точці економічного простору, другий — зміну вартості знарядь праці за витратами праці, третій — за витрата-ми знарядь праці, четвертий — за витратами предмета праці. Аналогічний зміст в економічній системі координат матимуть похідні від будь-яких інших величин. Цим вони відрізняються від похідних тих самих економічних величин, але в іншій системі координат, наприклад у системі координат X, Y, Z геометричного простору, в якому похідна від тієї ж вартості знарядь праці запишеться як
dUL ∂А ∂А ∂А ∂А
— =— +Vx— +Vy— +Vz—. (1.35)
dt ∂t ∂X ∂Y ∂Z
Похідна (1.35), як і похідна (1.33), є швидкістю зміни однієї й тієї самої економічної величини — вартості знарядь праці, але вони ма-ють різний економічний зміст. Похідна (1.33) визначає тільки економічний процес і ніяк не пов’язана з геометричними об’єктами та їх розташуванням у геометричному просторі. Похідна (1.35), навпаки, ніяк не визначає економічний процес, але пов’язує його з геометрич-ними об’єктами та їх розташуванням у геометричному просторі. На-приклад, вартість тих самих знарядь праці в різних країнах буде різною. Вартість товару залежить від відстані перевезень тощо.
Кінематичний баланс виробничих елементів
Будь-які явища можуть характеризуватися статикою, кінематикою і динамікою перебігу процесу в деякому просторі. Статика дає картину статичного, тобто нерухомого, стану субстанцій, що беруть участь у розвитку процесу, в певний момент. Кінематика, як в механіці, так і в економіці [1, 2], визначає зміну субстанцій та їх розта-шування в просторі без врахування причин цих змін. Динаміка визна-чає причини змін самих субстанцій та їх розташування в просторі.
Наприклад, у механіці субстанціями, або об’єктами, є матеріаль-на точка, тверде тіло і деформоване тіло. Відповідно кінематика вивчає положення точки або зміни геометрії тіла в просторі. В економіці досліджуваними субстанціями є виробничі елементи, вироблені продукти та їх частини.
У загальному випадку економічні субстанції характеризуються їх кількістю N, величиною кожної з них Р та їх загальною величиною А. В
32
економічній системі координат, що має вісь праці, вісь знарядь праці та вісь предмета праці, для кожної з величин N,P.A, може бути дев’ять еко-номічних субстанцій, що становлять елементи квадратної матриці:
N
N тт N т
Nw N
Nm N
рр
мр
NTM Nрм N мм
[Nkl] (k,l 1,2,3);
(1.36)
P
С-тт С-т" Срт С-Смт
рр
Смр Aтр
Стм
(-рм С мм
Aтм
Aрт Aрр Aрм Aмт Aмр Aмм
[Pkl ] ( k,l = 1,2,3
[Akl ] (k,l = 1,2,3).
(1.37)
(1.38)
Причому елементи матриць (1.36) - ( 1.38) відповідно пов’язані між собою рівностями
Akl=CklNkl ( k,l = 1,2,3).
(1.39)
Для більшої наочності в матрицях (1.36) - (1.38) поряд з цифрови-ми індексами наведено буквені індекси, що означають відповідні осі координат: к — число виробничих елементів; /—число видів виробленого продукту; 1 — робоча сила; 2 — знаряддя праці; 3 — предмет (матеріали) праці. Перший індекс при економічній субстанції визна-чає її належність до відповідного виробничого елемента, а другий — її призначення.
Економічний зміст елементів матриць (1.36) - (1.38) з урахуванням рівності (1.39) очевидний. Елементи матриці (1.38) — це кількість уречевленої праці у всіх частинах трьох виробничих елементів: у робочій силі — перший рядок; у знаряддях праці — другий рядок; у предметах праці — третій рядок матриці. Елементи матриці (1.36) визначають кількість одиниць у кожній із трьох частин виробничих елементів. Перший рядок матриці (1.36) — кількість одиниць робочої сили (за трьома видами виробництва), другий — кількість одиниць знарядь праці (робочих місць), третій — кількість одиниць предмета праці (комплектів матеріалів) також за трьома видами виробництва.
33
Елементи матриць (1.37) відповідно до рівності (1.39) — це кількість уречевленої праці в одиницях (частинах) виробничих еле-ментів. Елементи її першого рядка становлять кількість уречевленої праці в одиницях робочої сили, елементи другого рядка — в одини-цях знарядь праці (у робочих місцях), елементи третього рядка — у комплектах матеріалів.
Визначення економічних субстанцій дає змогу з’ясувати кінематичний баланс виробничих елементів. Якщо виходити з реального виробничого процесу, то в загальному випадку кількість наявних одиниць виробничих елементів Nkl як за їх частинами, так і в цілому Aklможе бути будь-якою. Щодо властивостей матриць (1.36) - (1.38) заздалегідь нічого не відомо. Наприклад, кількість робітників може не відповідати кількості наявних робочих місць, а робочі місця можуть бути не забезпечені комплектами матеріалів. Але, накладаючи умови на матрицю субстанцій (1.36), можна одержати суто кінема-тичні баланси (за кількістю одиниць) виробничих елементів. Так, умова рівності елементів рядків цієї матриці
NT(t,T, P,M) = N. (t, T, P, M) = Nu (t, T, P, M) (1.40)
означає, що в економіко-виробничому процесі, тобто в будь-який момент і в будь-якій точці розглянутого простору, кількість одиниць робочої сили дорівнює числу одиниць знарядь праці та кількості одиниць предмета праці (комплектів матеріалів). Умова (1.40) є кіне-матичним балансом виробничих елементів загалом.
Умови рівності елементів у стовпцях матрицях (1.36), а саме
N^(t,T,P,M) = Npi(t,T,P,M) =Nm(t,T,P,M); (1.41)
N^(t,T,P,M) =N№(t,T,P,M) =N ( t,T,P,M); (1.42)
Nm(t,T,P,M) =NpM(t,T,P,M) =NU(t,T,P,M), (1.43)
означає, що кількість одиниць робочої сили дорівнює кількості оди-ниць знарядь праці та кількості одиниць предмета праці за всіма трьо-ма видами виробництва: за відтворенням робочої сили (1.41), за ви-робництвом знарядь праці (1.42) і за виробництвом матеріалів (1.43). Умови (1.41) - (1.43) є кінематичними балансами виробничих елементів за видами виробництва. У даному разі розглядаються три види виробництва, проте їх може бути і більше, але це не змінює суті питання. Зазначимо, що умова кінематичного балансу виробничих
34
елементів загалом (1.40) випливає з умов часткових балансів (1.41) -(1.43), але зворотне несправедливе. Тобто, якщо витримуються всі часткові баланси, то виконується і баланс по виробництву в цілому. Але за загальної збалансованості (1.40) можуть порушуватися част-кові кінематичні баланси виробничих елементів (1.41) - (1.43).
Проте в окремі моменти рівності (1.40) - (1.43) можуть розгляда-тися як статичні співвідношення частин виробничих елементів, але в такому випадку вони залишаються незмінними.
JVT(/0,T0,P0,M0) = JVp(/0,T0,P0,M0) = JVM(/0,T0,P0,M0) = const.
Рівностями ж (1.40) - (1.43), по суті, визначають траєкторії змінної кількості частин виробничих елементів.
Запитання. Завдання.
1. У чому полягає відмінність моделі кругообороту виробничих еле-ментів від моделі кругообороту капіталу?
2. Поясніть економічний зміст рівноваги у двосекторній моделі простого відтворення.
3. Охарактеризуйте економічний зміст рівноваги в двосекторній моделі розширеного відтворення.
4. Який економічний зміст рівноваги в таблиці Леонтьева міжгалу-зевих зв’язків?
5. Якими координатами визначається економічний простір і чим вони відрізняються від координат геометричного простору?
6. У чому полягають відмінності методів Ейлера і Лагранжа орієн-тації в системі координат?
7. Охарактеризуйте модель кругообороту виробничих елементів та її зв’язок з економічною структурою реального виробництва.
8. Яке призначення кінематичного балансу виробничих елементів?
9. У чому відмінність виробничого елемента робоча сила від інших виробничих елементів?
10. Поясніть причину утворення виробничих скарбів. Чим вони відрізняються від виробничих елементів?
11. Хто є активними, а хто пасивними учасниками виробничого процесу?
35
Книга: А. Ф. Бабицький. МЕТОДОЛОГІЯ АНАЛІЗУ ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ І УПРАВЛІННЯ.
ЗМІСТ
На попередню
|
|
